高考文科数学二轮专题复习题《选修模块 专题1 第1讲 导数的简单应用》

出处:老师板报网 时间:2023-02-21

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重点难点突破(选修模块)专题一 导数及其应用第1讲 导数的简单应用(建议用时:60分钟)一、选择题1.函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为(  ).A.(-1,1] B.(0,1]C.[1,+∞) D.(0,+∞)解析 由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由f′(x)=x-≤0,解得00.故选B.答案 B4.已知函数f(x)=x3+ax2+x+2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(-1,1)内,则实数a的取值范围是(  ).A.(0,2] B.(0,2)  C.[,2) D.(,2)解析 由题意可知f′(x)=0的两个不同解都在区间(-1,1)内.因为f′(x)=3x2+2ax+1,所以根据导函数图象可得又a>0,解得0,∴f(x)在x=1处取得极小值.故选C.答案 C6.(2014·潍坊模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3f(30.3),b=logπ3f(logπ3),c=log3f,则a,b,c间的大小关系是(  ).A.a>b>c B.c>b>aC.c>a>b D.a>c>b解析 设g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)<0(x<0),∴当x<0时,g(x)=xf(x)为减函数.又g(x)为偶函数,∴当x>0时,g(x)为增函数.∵1<30.3<2,0g(30.3)>g(logπ3),即c>a>b.答案 C二、填空题7.(2013·江西卷)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′(1)=________.解析 设ex=t,则x=lnt(t>0),∴f(t)=lnt+t,即f(x)=lnx+x,∴f′(x)=+1,∴f′(1)=2.答案 28.(2014·江西卷)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.解析 设P(x0,y0),∵y=e-x,∴y′=-e-x,∴点P处的切线斜率为k=-e-x0=-2,∴-x0=ln2,∴x0=-ln2,∴y0=eln2=2,∴点P的坐标为(-ln2,2).答案 (-ln2,2)9.(2014·盐城调研)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值为________.解析 依题意知f′(x)=12x2-2ax-2b,∴f′(1)=0,即12-2a-2b=0,∴a+b=6.又a>0,b>0,∴ab≤2=9,当且仅当a=b=3时取等号,∴ab的最大值为9.答案 910.已知函数f(x)=alnx+x在区间[2,3]上单调递增,则实数a的取值范围是________.解析 ∵f(x)=alnx+x.∴f′(x)=+1.又∵f(x)在[2,3]上单调递增,∴+1≥0在x∈[2,3]上恒成立,∴a≥(-x)max=-2,∴a∈[-2,+∞).答案 [-2,+∞)11.(2013·新课标全国Ⅰ卷)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是________.解析 由题意知即解得a=8,b=15,所以f(x)=(1-x2)(x2+8x+15),则f′(x)=-4(x+2)(x2+4x-1).令f′(x)=0,得x=-2或x=-2-或x=-2+,当x<-2-时,f′(x)>0;当-2--2+时,f′(x)<0,所以当x=-2-时,f(x)极大值=16;当x=-2+时,f(x)极大值=16,所以函数f(x)的最大值为16.答案 16三、解答题12.已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围.解 (1)∵f(x)=ex-ax-1(x∈R),∴f′(x)=ex-a.令f′(x)≥0,得ex≥a.当a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立;当a>0时,有x≥lna.综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)的单调增区间为(lna,+∞).(2)由(1)知f′(x)=ex-a.∵f(x)在R上单调递增,∴f′(x)=ex-a≥0恒成立,即a≤ex在R上恒成立.∵x∈R时,ex>0,∴a≤0,即a的取值范围是(-∞,0].13.(2014·西安五校二次联考)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx,a∈R.(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;(2)求f(x)的单调区间.解 f′(x)=ax-(2a+1)+(x>0).(1)由题意得f′(1)=f′(3),解得a=.(2)f′(x)=(x>0).①当a≤0时,x>0,ax-1<0.在区间(0,2)上,f′(x)>0;在区间(2,+∞)上,f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).②当02.在区间(0,2)和上,f′(x)>0;在区间上,f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是.③当a=时,f′(x)=≥0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).④当a>时,0<<2,在区间和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间上,f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是.14.(2014·江西卷)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.解 (1)当a=-4时,由f′(x)==0得x=或x=2.由f′(x)>0得x∈或x∈(2,+∞),故函数f(x)的单调递增区间为和(2,+∞),(2)因为f′(x)=,a<0,由f′(x)=0得x=-或x=-.当x∈时,f(x)单调递增;当x∈时,f(x)单调递减;当x∈时,f(x)单调递增,易知f(x)=(2x+a)2≥0,且f=0.①当-≤1,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=±2-2,均不符合题意.②当1<-≤4,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]上的最小值为f=0,不符合题意.③当->4,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去),当a=-10时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意.综上有a=-10.
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